Lagrange-Multiplikator

    Hallo!

    Ich bekomme in MAthe2 eine Aufgabe gar nicht hin.
    Könnt ihr mir vielleicht helfen?

    Die Aufgabe ist:
    Lösen sie das Problem:
    max(min) f(x,y,z)=x²+y²+z unter der Nebenbedingung g(x,y,z)=x²+2y²+4z²=1

    Wie löse ich das?
    Ich habe die Partiellen Ableitungen gebildet nach x,y und z.

    Aber dann komme ich nicht weiter. Wie rechne ich die 3 Variablen x,y,z und Lambda aus?

  • Hey Gast!
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    Hallo,
    also ich würde das vom Ansatz her so machen, solltest das auf jeden Fall nochmal nachrechenen weil ich gerade nen bischen in Eile bin. Könnte gut sein das ich mich da verrechnet habe ;).

    1.) Aufstellen der Langrange Funktion:
    [latex]L = x^2 + y^2 + z + \lambda (1- x^2 - 2y^2 - 4z^2)[/latex]

    2.) Bestimmung der partiellen Ableitungen
    I [latex] \frac{\partial L}{\partial x} = 2x - 2 \lambda x [/latex]
    II [latex] \frac{\partial L}{\partial y} = 2y - 4 \lambda y[/latex]
    III [latex]\frac{\partial L}{\partial z} = 1 - 8 \lambda z[/latex]
    IV[latex]\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 1 - x^2 - 2y^2 - 4z^2[/latex]

    3.) Null setzen der Gleichungen und auflösen des Gleichungssystems
    I': (aus I) [latex]2x(1- \lambda) = 0 \Rightarrow x = 0 v \lambda = 1[/latex]
    II': (aus II)[latex] 2y(1 - 2 \lambda) = 0 \Rightarrow y = 0 v \lambda = \frac{1}{2}[/latex]
    III': ( aus III)[latex] z = \frac{1}{8\lambda}[/latex]
    Jetzt machst du eine Fallunterscheidung:

    1.) [latex]x = 0[/latex]
    i.) [latex]y = 0[/latex]
    Einsetzen in IV:
    [latex] 1 - 0 - 0- 4 ( \frac{1}{8\lambda})^2 = 0[/latex]
    ****************************************************
    NEU:

    [latex] \Rightarrow ( \frac{1}{8\lambda})^2 = \frac{1}{4} [/latex]
    [latex] \Rightarrow \frac{1}{8\lambda} =\pm \sqrt{ \frac{1}{4}} [/latex]
    [latex] \Rightarrow z = \pm \frac{1}{2}[/latex]
    1 Punkt:[latex] ( 0,0,\frac{1}{2})[/latex]
    2 Punkt:[latex] ( 0,0,-\frac{1}{2})[/latex]

    ii.)[latex] y \not= 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}[/latex]
    Einsetzen in III':[latex] z = \frac{1}{4}[/latex]
    Einsetzen in IV: [latex]1 - 0 - 2y^2 - 4 ( \frac{1}{4} )^2 = 0[/latex]
    [latex] \Rightarrow y = \sqrt{\frac{3}{8}}[/latex]
    3.Punkt:[latex] (0, \sqrt{\frac{3}{8}}, \frac{1}{4})[/latex]

    2.) [latex]x \not=0 \Rightarrow \lambda = 1[/latex]
    [latex] \Rightarrow y = 0[/latex]
    [latex] \Rightarrow z = \frac{1}{8}[/latex]
    Einsetzen in IV: [latex]1 - x^2 - 0 - 4 ( \frac{1}{8} )^2 = 0[/latex]
    [latex] \Rightarrow x = \sqrt{\frac{15}{16}}[/latex]
    [latex] \Rightarrow x = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{16}}[/latex]
    [latex] \Rightarrow x = \frac{1}{4} \sqrt{15}[/latex]
    4.Punkt:[latex](\frac{1}{4}\sqrt{15},0, \frac{1}{8})[/latex]


    4. Einsetzen der 3 Punkte in f(x,y,z)
    1.Punkt: f = [latex]\frac{1}{2}[/latex]
    2.Punkt: f = [latex]-\frac{1}{2}[/latex] (min)
    3.Punkt: f = [latex]\frac{5}{8}[/latex]
    4.Punkt: f = 1 (max)

    So ich hoffe das das richtig ist und es dir hilf :)
    Marcel

    Hmm..Also auf jeden Fall vielen Dank für die schnelle Antwort.
    Die Rechnung hat mir sehr geholfen. Nur noch folgendes Problem:

    Beim 3. und letzten Punkt, bekomme ich ((15/16)^1/2) raus für den x-Wert.

    Die Lösung bei mir im Buch hat aber leider folgende Lösung:

    "Das Maximierungsproblem lösen:( 0,25*((15)^1/2) ; 0 ; 1/8 )
    und ( -0,25*((15)^1/2) ; 0 ; 1/8 ) mit Lambda 0,5

    Minimuerungsproblem: (0,0, -0,5)

    Kann es leider nicht anders schreiben, ausser mit den Standard-Tastatur Zeichen.

    Ich verstehe an der Lösung auch nicht,das der eine x-Wert negativ ist. Dann hätte man ja vorher schon einige zusätzliche Lösungen haben müssen,weil man öfter mal die Wurzel gezogen hat für z,y, oder x Werte.

    hi,
    Stimmt. Du hast recht, da habe ich mich verrechnet. War nen bischen in Hektik, sry :).
    Ich überarbeite das dann mal. Die Anmerkung von dir aus dem Buch verstehe ich nicht so ganz, ist doch dann das gleiche Ergebnis.
    Marcel

    Neu :D
    Hi,
    ja die negativen Wuirzeln habe ich nicht brücksichtigt, weill die eh wieder quadriert werden und das ganze dann keine Rolle mehr spielt.
    So habe mir das nochmal nageschaut und jetzt auch den fehler gefunden :).

    Habe das mal in dem anderen Beitrag hineingeschrieben. Hoffe jetzt stimmt alles.*puh*
    Marcel

    Ja, aber was ist mit den negativen Ergebnissen für x, y, z
    In deiner Lösung hast du sie ja nicht beachtet.
    Aber die eine Lösung aus dem Buch ist ja auch negativ.