Kostenfunktion

Kein Widerspruch soweit ich das beurteilen kann. Monton steigend für alle x > 0 und Wendepunkt bedeutet für mich Sattelpunkt. Ich rechne es mal durch.

Gruß

Markus

Hier mal mein Vorschlag, vll. hab ich eine Kleinigkeit nicht beachtet oder wie auch immer, jedenfalls schaut's gut aus

Allgemein gilt:

f (x) = ax³ + bx² + cx + d
f’ (x) = 3ax² + 2bx + c
f’’ (x) = 6ax + 2b
f’’’ (x) = 6a

Elimination von d:

f (0) = a*0³ + b*0² + c*0 + d = 0 --> d = 0 (w)

Nun gilt:

f (x) = ax³ + bx² + cx
f’ (x) = 3ax² + 2bx + c
f’’ (x) = 6ax + 2b
f’’’ (x)= 6a

Vorgabe: f (x) > 0 für alle x > 0, da f (x) nur monoton steigend ist, einen Wendepunkt in (6/6) hat, ist der Wendepunkt gleich Sattelpunkt. Nun lassen sich folgende Gleichungen bilden:

I) f(6) = 6
II) f’(6) = 0
III) f’’ (6) = 0

f’’’(6) ist nicht Null für alle a ungleich Null, da unabhängig von x, also liegt ein Sattelpunkt vor, wenn obige Bedingungen (II, III) gelten:

I) 216a + 36b + 6c = 6
II) 108a + 12b + c = 0
III) 36a +2b = 0

Nun geht’s also ans Auflösen:

c eliminieren:

I – 6* II

216a + 36b + 6c = 6 (I)
-648a + 72b + 6c = 0(6*II)
--------------------------------
-432a-36b=6 (I*)

a eliminieren:

I* + 12*III

-432a – 36b = 6 (I*)
432a + 24b = 0 (12*III)
-----------------------------
-12b = 6

-->b = -0,5

b in I*:

-432a- (36*(-0,5)) = 6; a = 12 / 432, a = 1 / 36

a, b in II:
108 * (1/36) + 12 * (-0,5) + c = 0; c = 3

--> f(x) = 1 / 36 x³ - 0,5 x² + 3x

Gruß

Markus