Ausgabenminimierung für Nutzen > x

MrsJones

Hallo,

ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:

Ein Haushalt hat die Nutzenfunktion U = x1^0.5 + 0.5x2.
p1 = 1, p2 = 4
Der Haushalt will ein vorgegebes Nutzenniveau zu minimalen Kosten erreichen --> also Ausgabenminimierung nach Hicks.

Jetzt das Problem: Berechnen Sie die konsumierte Menge von x1, wenn ein Nutzen von u > 4 erreicht werden soll. Ich weiß nicht, wie ich dieses ">" berechnen soll. Wenn u = 4 wäre, wüsste ich ja, was ich für u einsetzen müsste.

Allgemeine Form: min p1x1 + p2x2 unter der Nebenbedingung u
Allerdings kann ich hier ja für u nichts einsetzen. Wie geht das??? :confused: :o

granti

Hmm, bin mir jetzt nicht sicher, wie man das formal löst; man könnte versuchen sich mit = statt > durchzumogeln und die Ergebnisse für x1 und x2 dementsprechend anzupassen (also als Ergebnis x1 >= a und x2 >= b).

Der Wert von u spielt hier aber bei der Berechnung von x1 aufgrund der Form der Nutzenfunktion keine Rolle:
u fliegt bei den partiellen Ableitungen nach x1 und x2 raus; das Ergebnis ist immer GRS = Faktorpreisverhältnis. Dann bekommt man normalerweise eine Lösung für x1 in Abhängigkeit von x2, p1 und p2, die man in die Ableitung nach Lambda einsetzt. Jetzt würden die Probleme anfangen, weil u darin vorkommt, aber:

Wenn ich mir die Nutzenfunktion so anschaue (sieht verdächtig aus :)):
Würdest du jetzt die Minimierungsfunktion partiell nach x2 ableiten, fliegt die Variable komplett raus, d.h. im Optimum ist x1 nur von p1 und p2 abhängig, und die Ableitung nach Lambda ist nicht mehr nötig; bei konstantem Preisniveau müsste x1 also für alle Werte von u konstant sein, und sich alleine über die Ableitungen nach x1 und x2 in Abhängigkeit von p1 und p2 berechnen lassen.

Lange Rede, kurzer Sinn: Der Wert von u ist für x1 völlig egal, hier die High-Speed Lösung (incl. eventueller Rechenfehler): Ich würde die Nutzenfkt nach x2 auflösen und dann nach x1 ableiten. Das Ganze dann gleich p1/p2 setzen. Wenn ich mich jetzt nicht vertan habe, kommt für's Optimum folgende Gleichung raus: 1/Wurzel (x1) = p1/p2. Das Zeug dann nach x1 auflösen.

Gruß,
-granti