Nutzenfunktion -> Indifferenzkurven

Snorre

Hallo, habe am Montag ne Klausur und bräuchte dringend Hilfe!! Also:

Welche der folgenden beiden Nutzenfunktionen entsprechen kovexen Indifferenzkurven und welche nicht?

a) U(X,Y) = 2X + 5Y

b) U(X,Y) = (XY)^0,5

Bei b) denke ich mir, dass, wenn ich die Hochzahl von X und Y addiere genau 1 herauskommt und damit einer Cobb-Doulgas-Funktion entspricht und somit einer konvexen Indifferenzkurve entspricht!

Aber kann mir einer sagen, wie ich das überhaupt ausrechnen bzw. herausfinden kann? Brauch ich dabei die Budgetgerade (I=PxX + PyY) und Lagrange-Ansatz?

Bitte um Hilfe, bin wirklich dankbar für jede Antwort!!

Thx, Snorre

granti

@ Snorre:

Ich vermute es reicht nicht, verbal zu argumentieren (geht bei der ersten Funktion eh schlecht), du wirst das ausrechnen müssen.

Eine Funktion ist dann konvex, also linksgekrümmt, wenn die 2. Ableitung >= 0 ist... wobei ich mir nicht sicher bin, ob die Indifferenzkurven streng konvex (>0) oder nur konvex (>=0) sein müssen; ist vor allem für die erste Fkt interessant, da die 2. Ableitung =0 ist. Diese wäre dann konvex, aber nicht streng konvex.

Auf jeden Fall musst du die Funktionen nach einer der Variablen auflösen und nach der anderen ableiten. U ist konstant und fällt bei der Ableitung weg (eine Differenzkurve der Nutzenfunktion steht ja für ein bestimmtes, konstantes Nutzenniveau). Wenn eine Indifferenzkurve der Funktion konvex ist, sind es alle anderen auch; wie man das beweist, weiss ich aber nicht.

Grüße,
granti

Snorre

Hi, hab bei der ersten auch Null rausbekommen aber hab mir gedacht, eine Funktion ist konvex, wenn die 2te Ableitung negativ ist?? :confused:

Bei b) hab ich dann wieder dMU(x) / d(x) für die erste Ableitung und d²MU(x) / d(x) für die zweite Ableitung gerechnet.
2te Ableitung: -0,75X^-2,5 * Y^0,5 < 0 d.h. die Indifferenzkurven sind konvex, oder??

Danke, Snorre

granti

Hi Snorre,

die Voraussetzung von Konvexität ist eine positive, 2. Ableitung.
Eine negative 2. Ableitung zeigt, dass eine Fkt rechtsgekrümmt ist; das wäre bspw. die hinreichende Bedingung für ein lokales Maximum.

Deine Berechnung stimmt so auch nicht, da du U nach x abgeleitet hast. Eine Indifferenzkurve liegt aber in der x-y-Ebene, d.h. du musst die Funktionen zuerst nach y auflösen und dann nach x ableiten (oder nach x aulösen und nach y ableiten, ist egal).
Lass dich von dem U nicht irritieren; das U ist für jede Indifferenzkurve eine Konstante und fliegt damit bei der ersten Ableitung schon raus.

Bei der Funktian a sähe das folgendermaßen aus:
U(X,Y) = 2X + 5Y
=> 5Y = U - 2X
Y = U/5 - 2X/5
Y' = -2/5
y'' = 0 => Konvex.

-granti

Snorre

Hi, danke für deine Hilfe. Werd mal b) probieren zu lösen und dann mein Ergebnis hier posten.

Thx, lg Snorre

Snorre

Hi, bei b) hab ich aber jetzt leider das Problem, dass ich beim Umformen häng:

U/x^0,5 = y^0,5

Und jetzt steh ich an. Das 0,5 nach links zu bringen is ja eigentlich nicht schwer, einfach die 0,5te Wurzel drüberziehn, aber dann weiß i net mehr, wie ich den Term 2 mal ableiten soll!

Könnt mir da jetzt wer weiterhelfen?? Is wirklich dringend! Dankeschön!

LG Snorre

Snorre

Hab jetzt auch b) gerechnet, bin mir aber nicht sicher, ob es stimmt.

Als Ergebnis hab ich herausbekommen, 2 * 0,5teWurzel aus (U) * X^-3

Danke, Snorre