Lagrange-Multiplikator-Methode

Snorre

Hallo, ich hoffe mir kann jemand bei einer Aufgabe helfen. Also,

Man bestimme die lokalen Extremstellen der Funktion f(u,v,w) = u^2 + w^2 + 2uvw unter den zwei Nebenbedingungen g(u,v,w) = 2u + 2v + w = 24 und h(u,w) = u + w = 8

Mittels Lagrange bin ich nun soweit gekommen:
Lu = 2u + 2vw - 2*X1- X2
Lv = 2uw - 2*X1
Lw = 2w + 2uv - X1 - X2
LX1 = 24 - 2u -2v - w
LX2 = 8 - u - w

X1 steht für Lambda1, welches ich hier leider nicht anders schreiben konnte
X2 steht für Lambda2, welch....

Jetz möchte ich die einzelnen Werte (u,v,..) ausrechnen, aber ich weiß nicht, womit ich anfangen soll.
Hab nur noch: w = 8 - u und u = 8 - w

Kennt sich da jemand aus. Wär nett, wenn er/sie mir sagen könnte, wie der nächste Schritt abläuft.

Thx, Snorre

granti

Hi Snorre,

bei mehreren Nebenbedingungen nennt sich das Ganze übrigens "Kuhn-Tucker-Ansatz", was aber nicht viel ändert, im Vergleich zu Lagrange.

Als erstes stellt sich bei so einem Problem immer die Frage, ob überhaupt beide Nebenbedingungen "binden", bzw. beide eine Restriktion darstellen; das geübte VWLer-Auge kann sowas erkennen (ich kann's nicht mehr).
Solltest du aber immer ausprobieren, weil das den Lösungsweg extrem vereinfachen kann; nur so am Rande...

Zum Problem:
Teile Lu durch Lw (nachdem du X2 auf die andere Seite addiert hast; die BEOs sind ja im Optimum=0), dann fällt X2 erst mal raus; dann hast du 5 Gleichungen mit 4 Unbekannten (u,v,w,X1) und somit ein Gleichungssystem, welches sich (mit ekelhaftem Rechenaufwand) lösen lässt...

Ich hoffe du verstehst, dass ich das nicht selbst ausrechnen will

War ne kurze Erklärung; wenn du nicht weiter weisst, einfach ne PM schreiben...

Grüße,
-granti

Lagrange-Multiplikator-Methode

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