Angebotsfunktion

    Ich sitze gerade an folgender ehemaligen Klausuraufgabe:

    Ein gewinnmaximierendes Unternehmen produziert mit einer Produktionsfunktion y = Wurzel(x-2)
    wobei x =2 die Mindesteinsatzmenge des Produktionsfaktors x ist, dessen Faktorpreis mit w = 3 vorgegeben ist.

    a) Geben Sie die Kostenfunktion an.
    b) Berechnen Sie die kurzfristige inverse Angebotsfunktion.
    c) Berechnen Sie die langfristige inverse Angebotsfunktion.

    Zu a) habe ich folgende Kostenfunktion:

    C = 3y^2 + 6

    Könnte mir vielleicht jemand einen Ratschlag zur Lösung von b) bzw. c) geben? Ich weiss, dass kurzfristig die AVC (durchschn. variablen Kosten) gedeckt werden müssen und bei langfristiger Betrachtung die AC (durch. Gesamtkosten, also inklusive fixen Kosten), aber ich komme trotzdem nicht so recht weiter!

    Danke im voraus! :)

    "Gewalt ist die letzte Zuflucht der Unfähigen."

    Hallöchen,

    leider hat sich dieser Aufgabe immer noch keiner angenommen!?! ... Nicht nachvollziehbar angesichts der Tatsache, dass sich vermutlich Hunderte (Jenaer) Studenten Semster für Semester (im Rahmen ihrer Prüfungsvorbereitung) damit rumquälen. ... Wollt Ihr nicht ... oder könnt Ihr nicht? 8)

    Also ich hab mich mit dieser Aufgabe auch schon ne ganze Weile rumgeschlagen, und will mal meinen Lösungsansatz hier posten (in der Hoffnung auf Feedback respekt. Verbesserungsorschläge!!!)


    AUFGABE A:
    Meines Erachtens nach ist der Ansatz von Steffen nicht ganz richtig. Ich würde die Lösung wie folgt angehen:

    Eine Kostenfunktion ergibt sich wie folgt: K = K var + K fix

    Gegeben sind hierbei:
    Produktionsfunktion: y = [latex] \sqrt{x-2} [/latex]
    Faktorpreis: w = 3
    Mindestfaktoreinsatz: x = 2

    Wir brauchen also zunächst die fixen und die variablen Kosten.

    Schritt 1: (Fixe Kosten)
    Da unabhängig von der Ausbringungsmenge 2 Einheiten des Produktionsfaktors einzusetzen sind, sehe ich hier den Ansatz für die fixen Kosten. Diese ergeben sich (m.E.) also aus:
    K fix = Mindesteinsatzmenge * Faktorpreis
    K fix = 2 * 3 = 6

    Damit kann obige Kostengleichung wie folgt ergänzt werden:
    K = K var + 6

    Schritt 2: (Variable Kosten)
    Die variablen Kosten lassen sich über die produzierte Menge ermitteln. Diese ist lediglich als Funktion gegeben. Weiterhin ist der Preis des Einsatzfaktors bekannt. Ich müßte mir also den Mengeneinsatz des Faktors ermitteln. Dies geschieht durch Umstellung der Produktionsfunktion nach x:
    (1) y = [latex] \sqrt{x-2} [/latex]
    (2) y² = x - 2
    (3) x = y² + 2
    Daraus läßt sich nun für die variablen Kosten die Gleichung aufstellen:
    K var = w * x
    K var = 3 * (y² + 2)
    K var = 3y² + 6

    Schritt 3: (Aufstellen der Kostengleichung)
    Nun kann die gesamte Kostengleichung aufgestellt werden:
    K = K var + 6
    K = 3y² +6 + 6

    K(y) = 3y² + 12


    GRUNDSÄTZLICHES zu Aufgabe b und c:
    Für die beiden nachfolgenden Teilaufgaben müssen jeweils 3 Bedingungen erfüllt sein:

    Bedingung 1:
    Der Anbieter ist bestrebt, seinen Gewinn zu maximieren. Der Gewinn ermittelt sich aus der Differenz von Erlös und Kosten. Das Gewinnmaximum wird über die Ableitung der Gewinnfunktion ermittelt:
    G(x) = E(x) - K(x)
    G(x) = px - K(x)

    G'(x) = p - K'(x) = 0 [latex] \Rightarrow [/latex] p = K'(x)

    Bedingung 2:
    Es muss sichergestellt sein, dass es sich um ein Maximum handelt. Dazu muss die 2. Ableitung der Gewinnfunktion größer 0 sein:
    G''(x) > 0

    Bedingung 3:
    Hier ist nun zu unterscheiden:

    für das kurzfristige Angebot müssen die Erlöse mdst. die variablen Kosten decken: E(x) [latex] \geq [/latex] K var
    für das langfristige Angebot müssen die Erlöse mdst. die Gesmatkosten decken: E(x) [latex] \geq [/latex] K(x)


    AUFGABE B:
    Es ist nun die erste Ableitung der Kostenfunktion zu bilden:
    K(y) = 3y² + 12
    K'(y) = 6y

    1. Bedingung:
    p = K'(x)
    p = 6y [latex] \Leftarrow [/latex] Inverse Angebotsfunktion

    2. Bedingung:
    G'(y) = p - 6y
    G''(x) = -6 < 0 [latex] \Leftarrow [/latex] Maximum (Bedingung erfüllt)

    3. Bedingung:
    E(x) [latex] \geq [/latex] K var
    p * x [latex] \geq [/latex] K var
    p [latex] \geq [/latex] K var / x

    Bezogen auf unsere Aufgabe bedeutet das:
    6y [latex] \geq [/latex] (3y²)/y
    6y [latex] \geq [/latex] 3y [latex] \Leftarrow [/latex] da diese Bedingung jederzeit erfüllt wird, gibt es für die oben ermittelte Inverse Angebotsfunktion keine Einschränkungen

    Die kurzfristige inverse Angebotsfunktion ist also: p = 6y. (Diese kann problemlos nach y umgestellt werden.)


    AUFGABE C:
    Hier ändert sich nun im Vergleich zu Teilaufgabe b lediglich die 3. Bedingung:
    E(x) [latex] \geq [/latex] K(x)
    p * x [latex] \geq [/latex] K(x)

    Bezogen auf die Aufgabe ergibt sich also
    6y * y [latex] \geq [/latex] 3y² + 12
    6y² [latex] \geq [/latex] 3y² + 12
    3y² [latex] \geq [/latex] 12
    y² [latex] \geq [/latex] 4
    y [latex] \geq [/latex] 2 (Die Lösung y [latex] \leq [/latex] -2 kann vernachlässigt werden, da y stets positv sein wird.

    Das heißt:

    Für die langfristige inverse Angebotsfunktion gilt also:
    für y [latex] \geq [/latex] 2 [latex] \Rightarrow [/latex] p = 6y
    für y < 2 [latex] \Rightarrow [/latex] 0