Skalenerträge

    Hallo!

    ich habe folgende Frage vorgefunden:
    Ein Unternehmen hat die Produktionsfunktion [latex]f(x1, x2)=(x1^b+x2^b)^c[/latex],wobei [latex]b > 0 [/latex]und [latex]c > 0[/latex] sind. Dieses Unternehmen hat
    a) konstante Skalenerträge dann und nur dann, wenn c = 1
    b) steigende Skalenerträge dann und nur dann, wenn b + c > 1
    c) steigende Skalenerträge dann und nur dann, wenn 2b + c > 1
    d) steigende Skalenerträge dann und nur dann, wenn bc > 1
    e) konstante Skalenerträge dann und nur dann, wenn b = c
    Ich habe nun probiert mit dem Logarithmus das c herunterzubekommen, damit man dann vielleicht etwas sieht, aber das hat mir auch nicht geholfen.
    Kann mir jemand sagen, wie ich da rangehen soll?
    Vielen Dank!

    Mfg Jürgen

  • Hey Gast!
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    Du kannst es mittels der Skalenelastizität errechnen.

    Gruß,
    Christian

    Zitat von John Maynard Keynes:

    "Solange die Nationalökonomen leben, nimmt niemand von ihnen Notiz, und wenn sie tot sind, richten sie großen Schaden an." :D

    Hallo!

    Und wie errechne ich dies mit Hilfe der Skalenelastizität?
    Ich kenne die Cobb-Douglas Produktionsfunktion: [latex]y=k^{a} \cdot l^{1-a}[/latex]
    Jedoch ist meine Funktion [latex]f(x_{1}, x_{2})=(x_{1}^b+x_2^b)^c[/latex] keine Multiplikation sonder eine Addition.
    Wie kann ich das angehen?

    Mfg Jürgen

    Du ersetzt die Produktionsfaktoren x1 und x2 jeweils durch [latex]\lambda[/latex]*x1 und [latex]\lambda[/latex]*x2. Anschließend löst du die Klammer auf, um danach das [latex]\lambda[/latex] auszuklammern. Der [latex]\lambda[/latex] zugehörigen Exponent stellt deine Skalenelastizität dar.
    Danach musst du nur noch Beispielzahlen für deine Aufgabe einsetzten und du erkennst in welcher Teilantwortmöglichkeit eine Produktionsfunktion mit konstanten, steigenden oder fallenden Skalenerträge hast.

    Gruß,
    Christian

    Zitat von John Maynard Keynes:

    "Solange die Nationalökonomen leben, nimmt niemand von ihnen Notiz, und wenn sie tot sind, richten sie großen Schaden an." :D

    Hallo!

    Ich verstehe nicht ganz wie du das meinst.
    Produktionsfaktoren [latex]x_1[/latex] und [latex]x_2[/latex] durch [latex]\lambda \cdot x_1[/latex] und [latex]\lambda \cdot x_2[/latex]:
    [latex]f(x_{1}, x_{2})=(\lambda \cdot x_{1}^b+ \lambda \cdot x_2^b)^c[/latex]
    Ab jetzt verstehe ich nicht ganz mehr. Meinst du mit Klammer auflösen folgendes:
    [latex]=\lambda^cx_1^{cb} + 2\lambda^2x_1^bx_2^b + \lambda^cx_2^{cb}[/latex]
    Wie soll ich nun das [latex]\lambda[/latex] ausklammern?

    Mfg Jürgen

    [latex]f(x_{1}, x_{2}) \Rightarrow f(\lambda \cdot x_{1}, \lambda \cdot x_{2})[/latex]

    Daraus folgt:

    [latex]f(\lambda \cdot x_{1}, \lambda \cdot x_{2}) = (\lambda^b \cdot x_{1}^b+ \lambda^b \cdot x_2^b)^c[/latex]

    [latex]f(\lambda \cdot x_{1}, \lambda \cdot x_{2}) = \lambda^{b \cdot c} \cdot x_{1} ^{b \cdot c} + \lambda^{b \cdot c} \cdot x_2^{b \cdot c}[/latex]

    [latex]\lambda^{b \cdot c}[/latex] rausgezogen:

    [latex]f(\lambda \cdot x_{1}, \lambda \cdot x_{2}) = \lambda^{b \cdot c} \cdot ( x_{1}^{b \cdot c} + x_2^{b \cdot c}) [/latex]

    [latex]f(\lambda \cdot x_{1}, \lambda \cdot x_{2}) = \lambda^{b \cdot c} \cdot ( x_{1}^b+ x_2^b)^c[/latex]

    [latex]f(\lambda \cdot x_{1}, \lambda \cdot x_{2}) = \lambda^{b \cdot c} \cdot f( x_{1}, x_{2})[/latex]

    Die Exponenten [latex]b \cdot c[/latex] stellt die Skalenelastizität dar:

    Skalenelastizität < 1 [latex]\Rightarrow[/latex] fallende Skalenerträge
    Skalenelastizität = 1 [latex]\Rightarrow[/latex] konstante Skalenerträge
    Skalenelastizität > 1 [latex]\Rightarrow[/latex] steigende Skalenerträge

    Gruß,
    Christian

    [ EDIT: Korrigierte Version. Beim ersten Versuch, aufgrund der Eile, leider etwas durcheinander gekommen :D ]

    Zitat von John Maynard Keynes:

    "Solange die Nationalökonomen leben, nimmt niemand von ihnen Notiz, und wenn sie tot sind, richten sie großen Schaden an." :D

    Hallo!

    Aber [latex]\lambda^b^c=\lambda^{bc}\not=\lambda^{b+c}[/latex]
    Und außerdem ist dies doch eine Bi- oder Polynom. Da kann man doch nicht einfach die Potenz auf die Faktoren in der Klammer herunterschreiben. Das geht nur bei einer Multiplikation aber nicht bei einer Addition.
    Stimmt doch, oder?

    Mfg Jürgen